Diffusionsglocke

[Quietscheentchen]

Hallo, ich hab ein großes Problem mit diesen Aufgaben und die sind auch noch Klausurrelevant! Aufgabe a) soll mit der Gauß’schen Verteilung gemacht werden und nicht über den Grenzwert!? Die b) ist okay, aber die Differentialgleichung in c) krieg ich überhaupt nicht auf die Reihe. Bei der Folgeaufgabe fehlt mir der komplette Ansatz!!! Es soll nur einfacher sein mit Polarkoordinaten zu rechnen!? Es wäre ganz lieb wenn mir jemand helfen könnte, sonst rechne ich mich tot!
Hier die Aufgabe:

Ein Stoff sei in einem Lösungsmittel zur Zeit t=0 am Ursprung konzentriert. Man denke z. B. an einen Tintentropfen in einem Wasserglas. Die Gesamtstoffmenge sei n0 in Mol. Der Diffusionskoeffizient sei D. Man zeige, dass c(r,t) folgende Form hat:


c(r,t) = n0/(8(Pi)Dt)^(3/2) exp(-r^2/(4Dt))

Zeigen sie dazu, dass:
a) c(r,t) für kleine t die beschriebene Anfangsverteilung besitzt,

b) ∫Raum c(r,t)dV = n0 gilt und

c) c(r,t) die Diffusionsgleichung erfüllt.

Hinweis: Es gilt ∫exp(-x^2)dx=(Pi)^(1/2)

Folgeaufgabe:

Berechnen sie <r^2(t)>, also den statistisch gemittelten quadratischen Abstand eines Teilchens vom Ursprung nach der Zeit t. Machen sie sich dazu klar, dass dazu der Ausdruck

∫Raum c(r,t)r^2dV zu berechnen ist. Hinweis: Es gilt: ∫(x^2)exp(-x^2)dx=0,5(Pi)^(1/2)

[Ikarus]

Vermute das es nur ein Tip sein sollte, weil der Grenzwert zwar klar ist. (Die Exp Funktion geht schneller gegen Null als der vordere Term gegen Unendlich,) aber eigentlich muss man um das wirklich sauber sagen zu können halt nee Grenzwert Betrachtung machen (siehe Bsp Analysis I (Mathe)Regel von L`Hospital). ICh weis nicht ob ihr das in der Vorlesung hatte. Daher denke ich war nur gefordert zu erkennen das es sich bei C(r,t) um eine Allg. Gausverteilung handelt und die ist halt um den Ursprung symmetrisch und an jenem Maximal.
Zur c.) ich verstehe dein Problem glaube ich nicht. Soweit ich es sehe setzt du nur die c(r,t) in die diffusionsgleichung ein und schaut ob c(r,t) eine Lsg. selbiger ist. (Ist sie) :lol: