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Eine Definition der Base ist, dass sie sich mit H+ binden, müsste dann nicht jedes Anion X- ein H+ aufnehmen? H+ + X- -> HX

Ja können Sie ja auch, wenn nicht schon mit einem anderen Partner gebunden.
Basen sind Protonenakzeptoren nach Brönstedt oder es ist ein Elektonenpaardonator nach Lewis. Wobei das Elektronenpaar mit einem H+ eine Wasserstoffbindung bildet.

Nach Brönsted-Lowry kann jedes Anion,allein aufgrund seiner negativen Ladung,eine Base sein,da es als Protonenakzeptor dienen kann.
Die Basenstärke hängt dann natürlich von der Säurestärke der korrespondierenden Säure ab.
So ist Chlorid eine sehr schwache Base,nur durch sehr starke Säuren protonierbar.
Dagegen Carbonat eine recht starke Base(unterliegt in wäßriger Lösung der Hydrolyse).

Chemik-Al.