Aufgabe zum Teilchen im 1D Kasten

[martin82]

Hi.

Kann irgendwie folgende Aufgabe nicht lösen.

Finde keine Eigenfunktion.

Aufgabe 3: Impuls im 1d Kasten

Ein Teilchen der Masse m bewege sich im eindimensionalen Kastenpotential der Länge L mit einer Geschwindigkeit v. Die Schrödinger-Gleichung ist die Eigenwertgleichung für die Energiezustände des Teilchens. Analog können eine Eigenwertgleichung und deren Lösung für den Impuls des Teilchens angegeben werden.

a) Geben Sie den Impolsoperator p in x-Richtung an.
b) Stellen sie die Eigenwertgleichung für den Impulsvektor auf.
c) Wie lautet die Eigenfunktion f(x) und die Eigenwerte für den Impuls. Überlegen Sie wie die Randbedingungen an den Stellen x = 0 und x = L im Kasten aussehen müssen. Diese ergeben wieder die Quantisierung.
d) Überprüfen sie die Normierung von f(x) für A = Wurzel(1/L) im Kasten, und überprüfen sie die Dimensionen der Größen im Exponenten von f(x)

[alpha]

Wenn ich mich nicht täusche, so ist das auch so... - Seltsam, diese Aufgabe! - Der Impuls kann eigentlich nur vom Betrag her, nicht aber absolut, d.h. mit Vorzeichen bestimmt werden...
Vielleicht weiss sonst jemand, was hier gemeint/zu tun ist...


Es grüsst
alpha

[AV]

Der Impulsoperator ist:
[formel]\hat{p} = -i\hbar\frac{d}{d x}[/formel]

Zum Teilchen im 1D-Kasten:
http://www.pci.tu-bs.de/aggericke/PC3/K ... Kasten.htm

[ondrej]

naja eigentlich nicht Schlimm. Musst nur überlegen, wie der Impulsoperator geht ... (Tipp: wie ist der Impuls definiert? Was davon ist eine Variable?)
Dann stellst Du mit diesem Operator die Schrödingergleichung auf.
Diese löst Du dann.
Mit den Randbedingungen (Du setzt einfach die Werte mal ein), kriegst Du die genaue Lösung hin.
Normierung heißt, dass die Summe aller Wahrscheinlichkeiten 1 ist. Also das Integral psi * psi*. Du setzt die vorgegebene ein und schaust ob 1 rauskommt ...

allen in allem machbar ...

[martin82]

Ich kann aber leider keine Eigenfunktion finden, die nach Anwendung des Impulsoperators hd/idx^2 gleich der selben Funktion mal einem konstanten Faktor ist (des wär ja die e-Funktion) aber gleichzeitig für X=0 und x=L auch noch null ist da die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Elektron dort aufhält ja gleich null sein müsste.

MfG,

Martin

[AV]

Also erstmal: d/dx und nicht d/dx² im Impulsoperator ...

Und dann:
Du kannst (komplexe) e-Funktionen aush umschreiben:
eix = cos(x) + i*sin(x)

[alpha]

äh... Das ist ja alles schön und gut, aber ich stimme martin82 zu, dass die Wellenfunktion für das Teilchen in der 1D-Box keine Eigenfunktion vom Impulsoperator ist. - Wir sind uns doch eigentlich einig, dass die gute, normierte Funktion für das Teilchen in einer L-langen 1D-Boxh heisst wie folgt? [formel]\psi(x) = \left(\frac{2}{L}\right)^{1/2}\cdot sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)[/formel]
Und das ist leider keine Eigenfunktion für den Impulsoperator...

Es grüsst
alpha

[martin82]

Ja genau, dass ist mein Problem. Finde keine Funktion bei denen die Randbedingungen passen und die Gleichzeitig Eigenfunktion des Impulsoperators ist.

[cyclobutan]

Es gibt auch keine "begrenzte" Eigenfunktion des Impulsoperators, sondern nur die genannte A*exp[i(kx-wt)]! Also ist das entweder die Lösung der Aufgabe, oder die Aufgabe inkompetent gestellt.

Viele Grüße,
Cyclobutan

[Tiffany87]

Schon mal an ^p² gedacht?